Moving Average Byvoeging Model

Vooruitskatting met tydreeksanalise Wat voorspel voorspelling is 'n metode wat op groot skaal gebruik word in tydreeksanalise 'n reaksie veranderlike, soos maandelikse wins, voorraad prestasie, of werkloosheidsyfers voorspel, vir 'n bepaalde tydperk. Voorspellings is gebaseer op patrone in bestaande data. Byvoorbeeld, kan 'n pakhuis bestuurder model hoeveel produk te bestel vir die volgende 3 maande gebaseer op die vorige 12 maande van bestellings. Jy kan 'n verskeidenheid van tydreekse metodes, soos tendens analise, ontbinding, of enkele eksponensiële gladstryking gebruik om patrone in die data te modelleer en ekstrapoleer diegene patrone vir die toekoms. Kies 'n ontleding metode of die patrone is staties (konstant oor tyd) of dinamies (verander met verloop van tyd), die aard van die tendens en seisoenale komponente, en hoe ver vooruit wat jy wil om te voorspel. Voordat die vervaardiging van voorspellings, pas verskeie kandidaat modelle om die data te bepaal watter model is die mees stabiele en akkurate. Voorspellings vir 'n bewegende gemiddelde ontleding Die toegerus waarde op tydstip t is die uncentered bewegende gemiddelde op tydstip t -1. Die vooruitskattings is die ingeboude waardes by die vooruitsig oorsprong. As jy voor voorspel 10 tydeenhede, sal die voorspelde waarde vir elke keer as die ingeboude waarde by die oorsprong wees. Data tot die oorsprong word gebruik vir die berekening van die bewegende gemiddeldes. Jy kan die lineêre gebruik bewegende gemiddeldes metode deur die berekening van agtereenvolgende bewegende gemiddeldes. Die lineêre bewegende gemiddeldes metode word dikwels gebruik wanneer daar 'n tendens in die data. Eerstens, bereken en stoor die bewegende gemiddelde van die oorspronklike reeks. Dan, te bereken en stoor die bewegende gemiddelde van die voorheen gestoor kolom om 'n tweede bewegende gemiddelde te verkry. In naïef vooruitskatting, die voorspelling vir die tyd t is die datawaarde op tydstip t -1. Die gebruik van bewegende gemiddelde prosedure met 'n bewegende gemiddelde lengte een gee naïef vooruitskatting. Voorspellings vir 'n enkele eksponensiële gladstryking analise Die toegerus waarde op tydstip t is die reëlmatige waarde op tydstip t-1. Die vooruitskattings is die ingeboude waarde aan die voorspelling oorsprong. As jy voor voorspel 10 tydeenhede, sal die voorspelde waarde vir elke keer as die ingeboude waarde by die oorsprong wees. Data tot die oorsprong word gebruik vir die smoothing. In naïef vooruitskatting, die voorspelling vir die tyd t is die datawaarde op tydstip t-1. Voer enkele eksponensiële gladstryking met 'n gewig van een tot naïef vooruitskatting te doen. Voorspellings vir 'n dubbele eksponensiële gladstryking ontleding Double eksponensiële gladstryking gebruik die vlak en tendens komponente om voorspellings te genereer. Die voorspelling vir m tydperke voor van 'n punt op tydstip t is L t mT t. waar L t is die vlak en T t is die tendens op tydstip t. Data tot die voorspelling oorsprong tyd sal gebruik word vir die smoothing. Voorspellings vir Winters metode Winters metode maak gebruik van die vlak, tendens, en seisoenale komponente om voorspellings te genereer. Die voorspelling vir m tydperke voor van 'n punt op tydstip t is: waar L t is die vlak en T t is die tendens op tydstip t, vermenigvuldig met (of bygevoeg vir 'n toevoeging model) die seisoenale komponent vir dieselfde tydperk van die vorige jaar. Winters metode gebruik data tot die voorspelling oorsprong tyd om die forecasts. Multiplicative aanpassing genereer: Beskou die grafiek van die Amerikaanse totale kleinhandelverkope van motors vanaf Januarie 1970 tot Mei 1998 in eenhede van miljarde dollars, soos gerapporteer in die tyd deur die Amerikaanse Buro vir Ekonomiese Ontleding: Baie van die neiging is bloot as gevolg van inflasie. Die waardes kan afgeblaas, maw omgeskakel na eenhede van konstante eerder as nominale dollar, deur hulle te deel deur 'n geskikte prysindeks afgeskaal tot 'n waarde van 1,0 in watter jaar verlang as die basisjaar. Here8217s die gevolg van die verdeling deur die Amerikaanse verbruikersprysindeks (VPI) afgeskaal tot 1,0 in 1990, wat die eenhede vat om miljarde 1990 dollars: (Die data kan gevind word in hierdie Excel-lêer en dit is ook geanaliseer in verdere besonderhede in. die bladsye op seisoenale ARIMA modelle op hierdie site) Daar is nog 'n algemene opwaartse neiging, en die toenemende amplitude van seisoenale variasies is suggestief van 'n vermenigvuldigende seisoenale patroon:. die seisoenale effek uiting in persentasie terme, sodat die absolute grootte van die seisoenale variasies verhoog as die reeks groei met verloop van tyd. So 'n patroon kan verwyder word deur vermenigvuldiging seisoenale aanpassing. wat tot stand gebring deur elke waarde van die tydreeks te deel deur 'n seisoenale indeks ( 'n getal in die omgewing van 1.0) dat die persentasie van die normale tipies waargeneem in daardie seisoen. Byvoorbeeld, as Decembers verkope is tipies 130 van die normale maandelikse waarde (gebaseer op historiese data), dan elke Decembers verkope sal seisoenaal aangepas word deur met 1,3. Net so, as Januarys verkope is tipies slegs 90 van normale, dan elke Januarys verkope sou word seisoensaangepaste word deur met 0,9. Dus, sou Decembers waarde afwaarts aangepas, terwyl Januarys opwaartse sal aangepas word, regstelling vir die verwagte seisoenale effek. Afhangende van hoe hulle beraam is uit die data, kan die seisoenale indekse dieselfde van een jaar bly na die volgende, of hulle kan stadig wissel met die tyd. Die seisoenale indekse bereken deur die seisoenale Ontbinding prosedure in Stat Graphics is konstant oor tyd, en word bereken deur die sogenaamde quotratio-tot-bewegende gemiddelde method. quot (Vir 'n verduideliking van hierdie metode, sien die skyfies op die voorspelling met seisoenale aanpassing en . die aantekeninge oor sigblad implementering van seisoenale aanpassing) hier is die multiplikatiewe seisoenale indekse vir motorverkope soos bereken deur die seisoenale Ontbinding prosedure in Stat Graphics Uiteindelik, hier is die seisoensaangepaste weergawe van afgeblaas motorverkope wat verkry word deur elke maande waarde deur die verwagte seisoenale indeks: Let daarop dat die uitgespreek seisoenale patroon is weg, en wat oorbly, die tendens en sikliese komponente van die data, plus ewekansige geraas. Toevoeging aanpassing: As 'n alternatief vir seisoenale aanpassing multiplikatiewe, is dit ook moontlik om toevoeging seisoenale aanpassing voer. 'N tyd-reeks waarvan die seisoenale variasies is min of meer konstant in grootte, onafhanklik van die huidige gemiddelde vlak van die reeks, sal 'n kandidaat vir toevoeging seisoenale aanpassing wees. In toevoeging seisoenale aanpassing, word elke waarde van 'n tydreeks aangepas deur die byvoeging of af te trek 'n hoeveelheid wat die absolute bedrag waarmee die waarde in daardie tyd van die jaar is geneig om te wees onder of bo die normale, soos beraam uit die verlede data verteenwoordig. Toevoeging seisoenale patrone is ietwat skaars in die natuur, maar 'n reeks wat 'n natuurlike multiplikatiewe seisoenale patroon het omgeskakel na een met 'n toevoeging seisoenale patroon deur die toepassing van 'n logaritme transformasie om die oorspronklike data. Daarom, as jy 'seisoenale aanpassing in samewerking met 'n logaritme transformasie, het jy waarskynlik moet gebruik toevoeging eerder as multiplikatiewe seisoenale aanpassing. (In die seisoenale ontbinding en prosedures vooruitskatting in Stat Graphics, kry jy 'n keuse tussen optellings - en vermenigvuldigingsomgekeerdes seisoenale aanpassing.) (Terug na bo.) Akronieme: Wanneer die ondersoek van die beskrywings van tydreekse in Datadisk en ander bronne, die afkorting SA staan ​​vir quotseasonally aangepas, terwyl NSA staan ​​vir quotnot seisoensaangepaste. 'N seisoensaangepaste jaarkoers (sajk) is 'n tydreeks waarin elke tydperke waarde is aangepas vir die seisoen en dan vermenigvuldig met die aantal periodes per jaar, asof dieselfde waarde het in elke tydperk vir 'n hele jaar verkry is. (Terug na bo.) Journal of Wiskunde en Statistiek Deel 7, Uitgawe 1 Abstract Probleemstelling: Die meeste van seisoenale outoregressiewe geïntegreerde bewegende gemiddelde (SARIMA) modelle wat gebruik word vir die voorspelling seisoenale tydreeks is multiplikatiewe SARIMA modelle. Hierdie modelle aanvaar dat daar 'n beduidende parameter as gevolg van vermenigvuldiging tussen nonseasonal en seisoenale parameters sonder toetsing deur sekere statistiese toets. Verder is die meeste gewilde statistiese sagteware soos Minitab en SPSS net fasiliteit om 'n vermenigvuldigende model inpas. Die doel van hierdie navorsing is om 'n nuwe prosedure stel vir aanvoorprojek die mees gepaste bevel van SARIMA model of dit subset, multiplikatiewe of toevoeging orde. In die besonder, die studie ondersoek of 'n vermenigvuldigende parameter bestaan ​​het in die SARIMA model. Benadering: Teoretiese afleiding oor Outokorrelasie (ACF) en gedeeltelik Outokorrelasie (PACF) funksies van subset, vermenigvuldigende en toevoeging SARIMA model is eerstens bespreek word en dan is R program wat gebruik word om die grafiese van hierdie teoretiese ACF en PACF skep. Dan is twee maandelikse datastelle wat gebruik word as gevallestudies, dit wil sê die internasionale data lugredery passasier en reekse oor die aantal toeriste na Bali, Indonesië. Die model identifikasie stap om vas te stel aan die orde van ARIMA model is gedoen deur gebruik te maak van Minitab program en die model skatting stap gebruik SAS-program om te toets of die model bestaan ​​uit subset, multiplikatiewe of toevoeging orde. Resultate: Die teoretiese ACF en PACF getoon dat subset, vermenigvuldigende en toevoeging SARIMA modelle het verskillende patrone, veral aan die lag as gevolg van vermenigvuldiging tussen nie-seisoenale en seisoenale lags. Modellering van die lugredery data opgelewer 'n subset SARIMA model as die beste model, terwyl 'n toevoeging SARIMA model is die beste model vir die voorspelling van die aantal toeriste na Bali. Gevolgtrekking: Beide van gevallestudies het getoon dat 'n vermenigvuldigende SARIMA model was nie die beste model vir die voorspelling van hierdie data. Die vergelyking evaluering het getoon dat subset en toevoeging SARIMA modelle het meer akkuraat voorspel waardes by uit-monster datastelle as multiplikatiewe SARIMA model vir lugredery en toeriste datastelle onderskeidelik. Hierdie studie is waardevolle bydrae tot die Box-Jenkins prosedure veral op die model identifikasie en belasting stappe in SARIMA model. Verdere werk met veelvuldige seisoenale ARIMA modelle, soos korttermyn vrag data vooruitskatting in sekere lande, kan verdere insigte met betrekking tot die subset, multiplikatiewe of toevoeging bestellings. Kopiereg afskrif 2011 Suhartono. Dit is 'n oop toegang artikel versprei onder die terme van die Creative Commons Attribution-lisensie. aan wie onbeperkte gebruik, verspreiding en reproduksie in enige medium toelaat, op voorwaarde dat die oorspronklike skrywer en 'n bron is credited. Moving gemiddelde en eksponensiële gladstryking modelle As 'n eerste stap in die beweging van buite gemiddelde modelle, ewekansige loop modelle, en lineêre tendens modelle, nonseasonal patrone en tendense kan geëkstrapoleer deur 'n bewegende-gemiddelde of glad model. Die basiese aanname agter gemiddelde en glad modelle is dat die tyd reeks is plaaslik stilstaande met 'n stadig wisselende gemiddelde. Vandaar, neem ons 'n bewegende (plaaslike) gemiddelde om die huidige waarde van die gemiddelde skat en dan gebruik dit as die voorspelling vir die nabye toekoms. Dit kan beskou word as 'n kompromie tussen die gemiddelde model en die ewekansige-stap-sonder-drif-model. Dieselfde strategie gebruik kan word om te skat en ekstrapoleer 'n plaaslike tendens. 'N bewegende gemiddelde is dikwels 'n quotsmoothedquot weergawe van die oorspronklike reeks, want kort termyn gemiddelde het die effek van gladstryking uit die knoppe in die oorspronklike reeks. Deur die aanpassing van die mate van gladstryking (die breedte van die bewegende gemiddelde), kan ons hoop om 'n soort van 'n optimale balans tussen die prestasie van die gemiddelde en die stogastiese wandeling modelle slaan. Die eenvoudigste soort gemiddelde model is die. Eenvoudige (ewe-geweeg) Moving Average: Die voorspelling vir die waarde van Y op tyd T1 wat gemaak word op tydstip t is gelyk aan die eenvoudige gemiddelde van die mees onlangse m waarnemings: (hier en elders sal ek die simbool 8220Y-hat8221 gebruik om op te staan vir 'n voorspelling van die tyd reeks Y gemaak op die vroegste moontlike voor datum deur 'n gegewe model.) Hierdie gemiddelde is gesentreer op tydperk t (M1) / 2, wat impliseer dat die skatting van die plaaslike gemiddelde sal neig om agter die werklike waarde van die plaaslike gemiddelde met sowat (M1) / 2 periodes. So, sê ons die gemiddelde ouderdom van die data in die eenvoudige bewegende gemiddelde is (M1) / 2 met betrekking tot die tydperk waarvoor die voorspelling is bereken: dit is die hoeveelheid tyd waarop voorspellings sal neig om agter draaipunte in die data. Byvoorbeeld, as jy gemiddeld die afgelope 5 waardes, sal die voorspellings wees oor 3 periodes laat in reaksie op draaipunte. Let daarop dat indien M1, die eenvoudige bewegende gemiddelde (SMA) model is soortgelyk aan die ewekansige loop model (sonder groei). As m is baie groot (vergelykbaar met die lengte van die skatting tydperk), die SMA model is gelykstaande aan die gemiddelde model. Soos met enige parameter van 'n voorspelling model, is dit gebruiklik om die waarde van k te pas ten einde die beste quotfitquot om die data, dit wil sê die kleinste voorspelling foute gemiddeld behaal. Hier is 'n voorbeeld van 'n reeks wat blykbaar ewekansige skommelinge toon om 'n stadig-wisselende gemiddelde. In die eerste plek kan probeer om dit aan te pas met 'n ewekansige loop model, wat gelykstaande is aan 'n eenvoudige bewegende gemiddelde van 1 kwartaal: Die ewekansige loop model reageer baie vinnig om veranderinge in die reeks, maar sodoende dit tel baie van die quotnoisequot in die data (die ewekansige skommelinge) asook die quotsignalquot (die plaaslike gemiddelde). As ons eerder probeer 'n eenvoudige bewegende gemiddelde van 5 terme, kry ons 'n gladder lyk stel voorspellings: Die 5 termyn eenvoudige bewegende gemiddelde opbrengste aansienlik kleiner foute as die ewekansige loop model in hierdie geval. Die gemiddelde ouderdom van die data in hierdie voorspelling is 3 ((51) / 2), sodat dit is geneig om agter draaipunte met sowat drie periodes. (Byvoorbeeld, blyk 'n afswaai het plaasgevind by tydperk 21, maar die voorspellings nie omdraai tot verskeie tydperke later.) Let daarop dat die langtermyn-voorspellings van die SMA model is 'n horisontale reguit lyn, net soos in die ewekansige loop model. So, die SMA model veronderstel dat daar geen neiging in die data. Maar, terwyl die voorspellings van die ewekansige loop model is eenvoudig gelyk aan die laaste waargenome waarde, die voorspellings van die SMA model is gelykstaande aan 'n geweegde gemiddelde van die afgelope waardes. Die vertroue perke bereken deur Stat Graphics vir die langtermyn-voorspellings van die eenvoudige bewegende gemiddelde nie groter as die vooruitskatting horison styg kry. Dit is natuurlik nie korrek Ongelukkig is daar geen onderliggende statistiese teorie wat ons vertel hoe die vertrouensintervalle behoort te brei vir hierdie model. Dit is egter nie te moeilik om empiriese ramings van die vertroue perke vir die langer-horison voorspellings te bereken. Byvoorbeeld, kan jy die opstel van 'n sigblad waarop die SMA model sal gebruik word om 2 stappe vooruit, 3 stappe vooruit, ens binne die historiese data monster voorspel. Jy kan dan bereken die monster standaardafwykings van die foute op elke voorspelling horison, en dan bou vertrouensintervalle vir langer termyn voorspellings deur optelling en aftrekking veelvoude van die toepaslike standaard afwyking. As ons probeer om 'n 9-termyn eenvoudige bewegende gemiddelde, kry ons selfs gladder voorspellings en meer van 'n sloerende uitwerking: Die gemiddelde ouderdom is nou 5 periodes ((91) / 2). As ons 'n 19-termyn bewegende gemiddelde te neem, die gemiddelde ouderdom toeneem tot 10: Let daarop dat, inderdaad, is die voorspellings nou agter draaipunte met sowat 10 periodes. Watter bedrag van smoothing is die beste vir hierdie reeks Hier is 'n tabel wat hulle dwaling statistieke vergelyk, ook met 'n 3-gemiddelde: Model C, die 5-termyn bewegende gemiddelde, lewer die laagste waarde van RMSE deur 'n klein marge oor die 3 - term en 9 termyn gemiddeldes, en hul ander statistieke is byna identies. So, onder modelle met 'n baie soortgelyke fout statistieke, kan ons kies of ons 'n bietjie meer responsiewe ingesteldheid of 'n bietjie meer gladheid in die voorspellings sou verkies. (Terug na bo.) Browns Eenvoudige Eksponensiële Smoothing (eksponensieel geweeg bewegende gemiddelde) Die eenvoudige bewegende gemiddelde model hierbo beskryf het die ongewenste eienskap dat dit behandel die laaste k Waarnemings ewe en heeltemal ignoreer al voorafgaande waarnemings. Intuïtief, moet afgelope data verdiskonteer in 'n meer geleidelike mode - byvoorbeeld, die mees onlangse waarneming moet 'n bietjie meer gewig kry as 2 mees onlangse, en die 2de mees onlangse moet 'n bietjie meer gewig as die 3 mees onlangse kry, en so aan. Die eenvoudige eksponensiële gladstryking (SES) model accomplishes hierdie. Laat 945 dui n quotsmoothing constantquot ( 'n getal tussen 0 en 1). Een manier om die model te skryf is om 'n reeks L dat die huidige vlak (dit wil sê die plaaslike gemiddelde waarde) van die reeks verteenwoordig as geraamde van data tot op hede te definieer. Die waarde van L op tydstip t is rekursief bereken uit sy eie vorige waarde soos volg: Dus, die huidige stryk waarde is 'n interpolasie tussen die vorige stryk waarde en die huidige waarneming, waar 945 kontroles die nabyheid van die geïnterpoleerde waarde tot die mees onlangse waarneming. Die voorspelling vir die volgende tydperk is eenvoudig die huidige stryk waarde: anders gestel ons kan die volgende voorspelling direk in terme van vorige voorspellings en vorige waarnemings uit te druk, in enige van die volgende ekwivalent weergawes. In die eerste weergawe, die voorspelling is 'n interpolasie tussen vorige skatting en vorige waarneming: In die tweede weergawe, is die volgende voorspelling verkry deur die aanpassing van die vorige skatting in die rigting van die vorige fout deur 'n breukdeel bedrag 945. is die fout gemaak by tyd t. In die derde weergawe, die voorspelling is 'n eksponensieel geweeg (dit wil sê afslag) bewegende gemiddelde met afslag faktor 1- 945: Die interpolasie weergawe van die voorspelling formule is die eenvoudigste om te gebruik as jy die uitvoering van die model op 'n spreadsheet: dit pas in 'n enkele sel en bevat selverwysings verwys na die vorige skatting, die vorige waarneming, en die sel waar die waarde van 945 gestoor. Let daarop dat indien 945 1, die SES model is gelykstaande aan 'n ewekansige loop model (sonder groei). As 945 0, die SES model is gelykstaande aan die gemiddelde model, met die veronderstelling dat die eerste stryk waarde gelyk aan die gemiddelde is ingestel. (Terug na bo.) Die gemiddelde ouderdom van die data in die eenvoudige eksponensiële-glad voorspelling is 1/945 relatief tot die tydperk waarvoor die voorspelling is bereken. (Dit is nie veronderstel duidelik te wees, maar dit kan maklik aangetoon deur die evaluering van 'n oneindige reeks.) Dus, die eenvoudige bewegende gemiddelde voorspelling is geneig om agter draaipunte met sowat 1/945 periodes. Byvoorbeeld, wanneer 945 0.5 die lag is 2 periodes wanneer 945 0.2 die lag is 5 periodes wanneer 945 0.1 die lag is 10 periodes, en so aan. Vir 'n gegewe gemiddelde ouderdom (bv bedrag van lag), die eenvoudige eksponensiële gladstryking (SES) voorspelling is 'n bietjie beter as die eenvoudige bewegende gemiddelde (SMA) voorspel, want dit plaas relatief meer gewig op die mees onlangse waarneming --i. e. dit is 'n bietjie meer quotresponsivequot om veranderinge voorkom in die onlangse verlede. Byvoorbeeld, 'n SMA model met 9 terme en 'n SES model met 945 0.2 beide het 'n gemiddelde ouderdom van 5 vir die data in hul voorspellings, maar die SES model plaas meer gewig op die laaste 3 waardes as wel die SMA model en by die Terselfdertyd is dit doesn8217t heeltemal 8220forget8221 oor waardes meer as 9 tydperke oud was, soos getoon in hierdie grafiek: nog 'n belangrike voordeel van die SES model die SMA model is dat die SES model maak gebruik van 'smoothing parameter wat voortdurend veranderlike, so dit kan maklik new deur die gebruik van 'n quotsolverquot algoritme om die gemiddelde minimum te beperk kwadraat fout. Die optimale waarde van 945 in die SES model vir hierdie reeks blyk te wees 0,2961, soos hier gewys word: die gemiddelde ouderdom van die data in hierdie voorspelling is 1 / 0,2961 3.4 tydperke, wat soortgelyk is aan dié van 'n 6-termyn eenvoudige bewegende gemiddelde. Die langtermyn-voorspellings van die SES model is 'n horisontale reguit lyn. soos in die SMA model en die ewekansige loop model sonder groei. Let egter daarop dat die vertrouensintervalle bereken deur Stat Graphics nou divergeer in 'n redelike aantreklike mode, en dat hulle aansienlik nouer as die vertrouensintervalle vir die ewekansige loop model. Die SES model veronderstel dat die reeks is 'n bietjie quotmore predictablequot as wel die ewekansige loop model. 'N SES model is eintlik 'n spesiale geval van 'n ARIMA model. sodat die statistiese teorie van ARIMA modelle bied 'n goeie basis vir die berekening van vertrouensintervalle vir die SES model. In die besonder, 'n SES model is 'n ARIMA model met een nonseasonal verskil, 'n MA (1) termyn, en geen konstante term. andersins bekend as 'n quotARIMA (0,1,1) model sonder constantquot. Die MA (1) koëffisiënt in die ARIMA model stem ooreen met die hoeveelheid 1- 945 in die SES model. Byvoorbeeld, as jy 'n ARIMA (0,1,1) model inpas sonder konstante om die reeks te ontleed hier, die beraamde MA (1) koëffisiënt blyk te wees 0,7029, wat byna presies 'n minus 0,2961. Dit is moontlik om die aanname van 'n nie-nul konstante lineêre tendens voeg by 'n SES model. Om dit te doen, net 'n ARIMA model met een nonseasonal verskil en 'n MA (1) termyn met 'n konstante, dit wil sê 'n ARIMA (0,1,1) model met 'n konstante spesifiseer. Die langtermyn-voorspellings sal dan 'n tendens wat gelyk is aan die gemiddelde tendens waargeneem oor die hele skatting tydperk is. Jy kan dit nie doen in samewerking met seisoenale aanpassing, omdat die aanpassing opsies seisoenale is afgeskakel wanneer die model tipe is ingestel op ARIMA. Jy kan egter 'n konstante langtermyn eksponensiële tendens om 'n eenvoudige eksponensiële gladstryking model voeg (met of sonder seisoenale aanpassing) deur gebruik te maak van die opsie inflasie-aanpassing in die vooruitskatting prosedure. Die toepaslike quotinflationquot (persentasie groei) koers per periode kan geskat word as die helling koëffisiënt in 'n lineêre tendens model toegerus om die data in samewerking met 'n natuurlike logaritme transformasie, of dit kan op grond van ander, onafhanklike inligting oor die langtermyn groeivooruitsigte . (Terug na bo.) Browns Lineêre (dws dubbel) Eksponensiële glad die SMA modelle en SES modelle aanvaar dat daar geen tendens van enige aard in die data (wat gewoonlik OK of ten minste nie-te-sleg vir 1- stap-ahead voorspellings wanneer die data is relatief raserig), en hulle kan verander word om 'n konstante lineêre tendens inkorporeer soos hierbo getoon. Wat van kort termyn tendense As 'n reeks vertoon 'n wisselende koers van groei of 'n sikliese patroon wat uitstaan ​​duidelik teen die geraas, en as daar 'n behoefte aan meer as 1 tydperk wat voorlê voorspel, dan skatting van 'n plaaslike tendens kan ook wees n probleem. Die eenvoudige eksponensiële gladstryking model veralgemeen kan word na 'n lineêre eksponensiële gladstryking (LES) model wat plaaslike begrotings van beide vlak en tendens bere te kry. Die eenvoudigste-time wisselende tendens model is Browns lineêr eksponensiële gladstryking model, wat twee verskillende reëlmatige reeks wat op verskillende punte gesentreer in die tyd gebruik. Die vooruitskatting formule is gebaseer op 'n ekstrapolasie van 'n streep deur die twee sentrums. ( 'N meer gesofistikeerde weergawe van hierdie model, Holt8217s, word hieronder bespreek.) Die algebraïese vorm van Brown8217s lineêr eksponensiële gladstryking model, soos dié van die eenvoudige eksponensiële gladstryking model, uitgedruk kan word in 'n aantal verskillende maar ekwivalente vorms. Die quotstandardquot vorm van hierdie model word gewoonlik uitgedruk as volg: Laat S dui die enkel-stryk reeks verkry deur die toepassing van eenvoudige eksponensiële gladstryking om reeks Y. Dit is, is die waarde van S op tydperk t gegee word deur: (Onthou dat, onder eenvoudige eksponensiële gladstryking, dit sou die voorspelling vir Y by tydperk T1 wees) Dan Squot dui die dubbel-stryk reeks verkry deur die toepassing van eenvoudige eksponensiële gladstryking (met behulp van dieselfde 945) tot reeks S:. ten slotte, die voorspelling vir Y tk. vir enige kgt1, word gegee deur: Dit lewer e 1 0 (dit wil sê kul n bietjie, en laat die eerste skatting gelyk wees aan die werklike eerste waarneming), en e 2 Y 2 8211 Y 1. waarna voorspellings gegenereer met behulp van die vergelyking hierbo. Dit gee dieselfde toegerus waardes as die formule gebaseer op S en S indien laasgenoemde is begin met behulp van S 1 S 1 Y 1. Hierdie weergawe van die model gebruik word op die volgende bladsy wat 'n kombinasie van eksponensiële gladstryking met seisoenale aanpassing illustreer. Holt8217s Lineêre Eksponensiële Smoothing Brown8217s LES model bere plaaslike begrotings van vlak en tendens deur glad die onlangse data, maar die feit dat dit nie so met 'n enkele glad parameter plaas 'n beperking op die data patrone wat dit in staat is om aan te pas: die vlak en tendens word nie toegelaat om wissel op onafhanklike tariewe. Holt8217s LES model spreek hierdie kwessie deur die insluiting van twee glad konstantes, een vir die vlak en een vir die tendens. Te eniger tyd t, soos in Brown8217s model, die daar is 'n skatting L t van die plaaslike vlak en 'n skatting T t van die plaaslike tendens. Hier is hulle rekursief bereken vanaf die waarde van Y op tydstip t en die vorige raming van die vlak en tendens waargeneem deur twee vergelykings wat eksponensiële gladstryking afsonderlik van toepassing op hulle. As die geskatte vlak en tendens op tydstip t-1 is L t82091 en T t-1. onderskeidelik, dan is die voorspelling vir Y tshy wat op tydstip t-1 sal gemaak is gelyk aan L t-1 T T-1. Wanneer die werklike waarde is waargeneem, is die opgedateer skatting van die vlak rekursief bereken deur interpol tussen Y tshy en sy voorspelling, L t-1 T T-1, die gebruik van gewigte van 945 en 1- 945. Die verandering in die geskatte vlak, naamlik L t 8209 L t82091. geïnterpreteer kan word as 'n lawaaierige meting van die tendens op tydstip t. Die opgedateer skatting van die tendens is dan rekursief bereken deur interpol tussen L t 8209 L t82091 en die vorige skatting van die tendens, T t-1. die gebruik van gewigte van 946 en 1-946: Die interpretasie van die tendens-glad konstante 946 is soortgelyk aan dié van die vlak glad konstante 945. Models met klein waardes van 946 aanvaar dat die tendens verander net baie stadig met verloop van tyd, terwyl modelle met groter 946 aanvaar dat dit vinniger is om te verander. 'N Model met 'n groot 946 is van mening dat die verre toekoms is baie onseker, omdat foute in die tendens-skatting word baie belangrik wanneer voorspel meer as een tydperk wat voorlê. (Terug na bo.) Die smoothing konstantes 945 en 946 kan in die gewone manier word beraam deur die vermindering van die gemiddelde kwadraat fout van die 1-stap-ahead voorspellings. Wanneer dit in Stat Graphics gedoen, die skattings uitdraai om te wees 945 0.3048 en 946 0,008. Die baie klein waarde van 946 beteken dat die model veronderstel baie min verandering in die tendens van een tydperk na die volgende, so basies hierdie model is besig om 'n langtermyn-tendens skat. Volgens analogie met die idee van die gemiddelde ouderdom van die data wat gebruik word in die skatte van die plaaslike vlak van die reeks, die gemiddelde ouderdom van die data wat gebruik word in die skatte van die plaaslike tendens is eweredig aan 1/946, hoewel nie presies gelyk aan Dit. In hierdie geval is dit blyk 1 / 0,006 125. Dit isn8217t n baie presiese aantal sover die akkuraatheid van die skatting van 946 isn8217t regtig 3 desimale plekke te wees, maar dit is van dieselfde algemene orde van grootte as die steekproefgrootte van 100 , so hierdie model is gemiddeld oor 'n hele klomp van die geskiedenis in die skatte van die tendens. Die voorspelling plot hieronder toon dat die LES model skat 'n effens groter plaaslike tendens aan die einde van die reeks as die konstante tendens geskat in die SEStrend model. Ook waarvan die beraamde waarde van 945 is byna identies aan die een wat deur die pas van die SES model met of sonder tendens, so dit is amper dieselfde model. Nou, doen hierdie lyk redelike voorspellings vir 'n model wat veronderstel is om te beraming 'n plaaslike tendens As jy hierdie plot 8220eyeball8221, dit lyk asof die plaaslike tendens afwaarts gedraai aan die einde van die reeks: Wat het die parameters van hierdie model gebeur is beraam deur die vermindering van die kwadraat fout van 1-stap-ahead voorspellings, nie langer termyn voorspellings, in welke geval die tendens 'n groot verskil doesn8217t maak. As alles wat jy is op soek na is 1-stap-ahead foute, is jy nie sien die groter prentjie van tendense oor (sê) 10 of 20 periodes. Ten einde hierdie model meer in harmonie te kry met ons oogbal ekstrapolasie van die data, kan ons met die hand die tendens-glad konstante pas sodat dit 'n korter basislyn vir tendens skatting. Byvoorbeeld, as ons kies om te stel 946 0.1, dan is die gemiddelde ouderdom van die gebruik in die skatte van die plaaslike tendens data is 10 periodes, wat beteken dat ons die gemiddeld van die tendens oor daardie laaste 20 periodes of so. Here8217s wat die voorspelling plot lyk asof ons '946 0.1 terwyl 945 0.3. Dit lyk intuïtief redelike vir hierdie reeks, maar dit is waarskynlik gevaarlik om hierdie tendens te ekstrapoleer nie meer as 10 periodes in die toekoms. Wat van die fout statistieke Hier is 'n model vergelyking vir die twee modelle hierbo asook drie SES modelle getoon. Die optimale waarde van 945.Vir die SES model is ongeveer 0,3, maar soortgelyke resultate (met 'n bietjie meer of minder 'n responsiewe ingesteldheid, onderskeidelik) verkry met 0,5 en 0,2. (A) Holts lineêre exp. glad met alfa 0,3048 en beta 0,008 (B) Holts lineêre exp. glad met alfa 0,3 en beta 0,1 (C) Eenvoudige eksponensiële gladstryking met alfa 0,5 (D) Eenvoudige eksponensiële gladstryking met alfa 0,3 (E) Eenvoudige eksponensiële gladstryking met alfa 0,2 hul statistieke is byna identies, so ons can8217t regtig die keuse te maak op die basis van 1-stap-ahead voorspelling foute binne die data monster. Ons het om terug te val op ander oorwegings. As ons glo dat dit sinvol om die huidige tendens skatting van wat die afgelope 20 periodes of so gebeur baseer, kan ons 'n saak vir die LES model met 945 0.3 en 946 0.1 maak. As ons wil hê agnostikus te wees oor die vraag of daar 'n plaaslike tendens, dan een van die SES modelle makliker om te verduidelik kan wees en sou ook vir meer middel-of-the-road voorspellings vir die volgende 5 of 10 periodes. (Terug na bo.) Watter tipe tendens-ekstrapolasie die beste: horisontale of lineêre empiriese bewyse dui daarop dat, indien die data is reeds aangepas (indien nodig) vir inflasie, dan is dit dalk onverstandig om kort termyn lineêre ekstrapoleer wees tendense baie ver in die toekoms. Tendense duidelik vandag mag verslap in die toekoms as gevolg van uiteenlopende oorsake soos produk veroudering, toenemende mededinging en sikliese afswaai of opwaartse fases in 'n bedryf. Om hierdie rede, eenvoudige eksponensiële gladstryking voer dikwels beter out-of-monster as wat dit andersins word verwag, ten spyte van sy quotnaivequot horisontale tendens ekstrapolasie. Gedempte tendens veranderinge van die lineêre eksponensiële gladstryking model word ook dikwels gebruik in die praktyk om 'n aantekening van konserwatisme in te voer in die tendens projeksies. Die gedempte-tendens LES model geïmplementeer kan word as 'n spesiale geval van 'n ARIMA model, in die besonder, 'n ARIMA (1,1,2) model. Dit is moontlik om vertrouensintervalle rondom langtermyn voorspellings wat deur eksponensiële gladstryking modelle bereken deur die oorweging van hulle as spesiale gevalle van ARIMA modelle. (Pasop: nie alle sagteware bereken vertrouensintervalle vir hierdie modelle korrek.) Die breedte van die vertrouensintervalle hang af van (i) die RMS fout van die model, (ii) die tipe glad (eenvoudige of lineêr) (iii) die waarde (s) van die smoothing konstante (s) en (iv) die aantal periodes voor jy voorspel. In die algemeen, die tussenposes versprei vinniger as 945 kry groter in die SES model en hulle uitgebrei, sodat baie vinniger as lineêre, eerder as eenvoudige smoothing gebruik. Hierdie onderwerp word verder in die ARIMA modelle deel van die notas bespreek. (Terug na bo.) 5.1 Ontbinding Models Ontbinding prosedures gebruik word in die tyd reeks om die tendens en seisoenale faktore in 'n tydreeks te beskryf. Meer uitgebreide ontbindings kan ook langtermyn siklusse, vakansie effekte, dag van die week effekte en so aan. Hier, goed net oorweeg tendens en seisoenale ontbindings. Een van die belangrikste doelwitte vir 'n ontbinding is om seisoenale effekte spesifiseer wat aangewend kan word om te skep en aan te bied seisoensaangepaste waardes te skat. 'N seisoensaangepaste waarde verwyder die seisoenale ingang van 'n waarde sodat tendense meer duidelik gesien kan word. Byvoorbeeld, in baie dele van die VSA werkloosheid is geneig om te daal in die somer as gevolg van verhoogde indiensneming in die landbou gebiede. So 'n daling in die werkloosheidsyfer in Junie in vergelyking met Mei noodwendig die geval is dui daarop dat Theres 'n neiging in die rigting laer werkloosheid in die land. Om vas te stel of daar 'n werklike tendens, moet ons aanpas vir die feit dat werkloosheid in Junie altyd laer as in Mei. Die volgende twee strukture kom in aanmerking vir basiese ontbinding modelle: 1. byvoeging: x t Trend Seisoene Random 2. Multiplikatiewe: x t Trend Seisoene Random Die Random term word dikwels genoem Onreëlmatige in sagteware vir ontbindings. Hoe om te kies tussen optellings - en vermenigvuldigingsomgekeerdes ontbindings Die toevoeging model is sinvol as die seisoenale variasie is redelik konstant oor tyd. Die vermenigvuldiging model is sinvol as die seisoenale variasie met verloop van tyd toeneem. Voorbeeld 1. In Les 1.1, het ons gekyk na kwartaallikse bier produksie in Australië. Die seisoenale variasie gekyk word oor dieselfde grootte regoor tyd, so 'n toevoeging ontbinding kan goed wees. Hier is die tydreeks plot: Voorbeeld 2. Weve gesien ten minste een voorbeeld dusver in die kursus waar 'n vermenigvuldigende ontbinding goeie die kwartaallikse verdienste data vir die Johnson en Johnson Korporasies sou wees. Die seisoenale variasie verhoog as ons beweeg oor tyd. 'N vermenigvuldigende ontbinding kan nuttig wees. Hier is die plot van die data: basiese stappe in Ontbinding 1. Die eerste stap is om die tendens te skat. Twee verskillende benaderings gebruik kan word vir hierdie (met baie variasies van elk). Een benadering is om die tendens met 'n glad prosedure skat soos bewegende gemiddeldes. (Sien Les 5.2 vir meer inligting oor dit.) Met hierdie benadering geen vergelyking word gebruik om tendens beskryf. Die tweede benadering is om die tendens met 'n regressievergelyking te modelleer. 2. Die tweede stap is om te de-tendens die reeks. Vir 'n toevoeging ontbinding, word dit gedoen deur te trek die tendens skattings van die reeks. Vir 'n vermenigvuldigende ontbinding, word dit gedoen word deur die reeks deur die tendens waardes. 3. Volgende, is seisoenale faktore geskat met behulp van die-de tendens reeks. Vir maandelikse data, dit behels die skatte van 'n effek vir elke maand van die jaar. Vir kwartaallikse data, dit behels die skatte van 'n effek vir elke kwartaal. Die eenvoudigste metode vir die beraming van die effek is om die de tendens waardes gemiddeld vir 'n spesifieke seisoen. Byvoorbeeld, 'n seisoenale effek vir Januarie te kry, gemiddeld ons die-de tendens waardes vir alle Januarys in die reeks, en so aan. (Minitab gebruik mediane eerder as middel, by the way.) Die seisoenale effekte is gewoonlik aangepas sodat hulle gemiddeld tot 0 vir 'n toevoeging ontbinding of hulle gemiddeld tot 1 vir 'n vermenigvuldigende ontbinding. 4. Die finale stap is om die ewekansige (onreëlmatige) komponent te bepaal. Vir die toevoeging model, ewekansige reeks tendens seisoenaal. Vir die multiplikatiewe model, ewekansige reeks / (trendseasonal) Die ewekansige komponent kan ontleed vir dinge soos gemiddelde absolute grootte, of beteken kwadraat grootte (variansie), of dalk selfs vir of die komponent is eintlik ewekansige of dalk geskoei met 'n ARIMA model. 'N Paar programme Itereer deur die stappe 1 tot 3. Byvoorbeeld, na stap 3 kan ons die seisoenale faktore gebruik om te de-seasonalize die reeks en dan terug na stap 1 om die tendens wat gebaseer is op die de seasonalized reeks te skat. Minitab doen dit (en skat die tendens met 'n reguit lyn in die iterasie. Ontbinding in R Die basiese opdrag is ontbind. Vir 'n toevoeging model ontbind (naam van 'n reeks, tipe toevoeging). Vir 'n vermenigvuldigende ontbinding ontbind (naam van 'n reeks, tipe multiplikatiewe). Belangrike eerste stap. As 'n voorlopige jy 'n ts opdrag gebruik om die seisoenale span te definieer vir 'n reeks. vir kwartaallikse data, is dit dalk naam van 'n reeks ts (naam van 'n reeks, freq 4). vir maandelikse data, dit kan wees naam van 'n reeks ts (naam van 'n reeks, freq 12). Jy kan die elemente van die ontbinding plot deur die plaas van die ontbind opdrag as 'n argument van 'n komplot opdrag. as 'n voorbeeld, plot (ontbind (verdienste, typemultiplicative)) . Nog 'n manier om te plot is om die resultate van die ontbinding slaan in 'n naam van voorwerp en dan trek die voorwerp. As 'n voorbeeld, decompearn ontbind (verdienste, tipe vermenigvuldigende) plot (decompearn) om al die elemente van 'n gestoor voorwerp sien, tik sy naam. byvoorbeeld, die aangaan decompearn sal al die elemente van die ontbinding in die voorbeeld hierbo toon. Wanneer die ontbinding word gestoor in 'n voorwerp, jy het ook toegang tot die verskillende elemente van die ontbinding. Byvoorbeeld, in die net gegewe voorbeeld, decompearnfigure bevat die seisoenale effekte waardes vir vier hoeke. Jy kan die seisoenale syfers druk net deur 'decompearnfigure. Jy kan hulle stip met behulp van plot (decompearnfigure). Voorbeeld 1 Voortgesette. Toevoeging Ontbinding vir Beer Produksie Die volgende opdragte geproduseer die grafiek en numeriese uitset wat volg vir die bier Australiese bier produksie reeks. beerprod skandering (beerprod. dat) beerprod ts (beerprod, freq 4) decompbeer ontbind (beerprod, typeadditive) plot (decompbeer) decompbeer Die plot toon die waargeneem reeks, die stryk tendens lyn, die seisoenale patroon en die ewekansige deel van die reeks. Let daarop dat die seisoenale patroon is 'n gereeld herhalende patroon. Hier is die numeriese uitset: seisoenale Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 2 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 3 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 4 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 5 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 dieselfde rye af na 18 tendens Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1 nA nA 255,3250 254,4125 2 257,4500 260,1000 262,8375 264,6875 3 265,4125 264,6500 262,4625 260,4000 4 261,2625 262,9875 266,1875 269,2375 5 270,5125 271,4625 272,1750 274,0125 6 274,3750 277,4500 278,9750 279,1750 7 282,9000 285,2875 287,9375 290,3875 en so aan tot die 18de ry ewekansige Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1 NA NA -3,77426471 -3,44558824 2 -3,34632353 8,47867647 -2,08676471 -1,72058824 3 -1,40882353 8,82867647 -0,81176471 -4,43308824 4 7,75882353 4,49117647 8,36323529 -12,37058824 5 7,69117647 -4,28382353 12,87573529 -20,04558824 6 12,42867647 -4,17132353 2,87573529 2,59191176 7 -11,69632353 5,19117647 6,51323529 - 2.12058824 en so aan tot die 18de ry figuur 1 7,896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 Gebruik die seisoenale Waardes die elemente van figuur is die gevolge vir die vier kwartale. Let daarop dat die seisoenale effek waardes herhaal elke jaar (ry) in die seisoenale voorwerp aan die bokant van hierdie bladsy. Die seisoenale waardes word gebruik om seisoenaal aangepas toekomstige waardes. Veronderstel byvoorbeeld dat die volgende kwartaal 4 seisoenale waarde verby die einde van die reeks het die waarde 535. Die kwartaal 4 seisoenale effek is 57,433088, of oor 57,43. So vir hierdie toekomstige waarde, die de-seasonalized of seisoensaangepaste waarde 535 57,43 477,57. Hoe die tendens waardes is bereken Die tendens waardes is bepaal as gesentreer bewegende gemiddeldes van span 4 (want daar is vier hoeke per jaar). Hier is hoe die gesentreerde bewegende gemiddelde vir die tyd 3 sal bereken word. Gemiddeld waargeneem datawaardes by tye 1 tot 4: frac (x1x2x3x4) Gemiddeld die waardes by tye 2-5: frac (x2x3x4x5) Dan gemiddeld daardie twee gemiddeldes: frac leftfrac (x1x2x3x4) frac (x2x3x4x5) reg frac x1frac x2 frac x3 frac x4 frac X5. Meer in die algemeen, die gesentreerde bewegende gemiddelde gladder vir tyd t (met 4/4) volg is die eerste 8 waardes in die waargeneem reeks. Die reëlmatige tendens waarde vir tyd 3 in die reeks (Kwart 3 van die jaar 1) is 255,325 en die reëlmatige tendens waarde vir tyd 4 is 254,4125. Gebruik die onderstaande inligting om hierdie waardes (en jou begrip van die proses) te verifieer. Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1 284,4 212,8 226,9 308,4 2 262,0 227,9 236,1 320,4 Vir maandelikse data die gesentreerde bewegende gemiddelde gladder vir tyd t sal wees Voorbeeld 1 Vervolg: Multiplikatiewe Ontbinding vir Beer Produksie Die volgende twee opdragte sal 'n vermenigvuldigende ontbinding van die bier produksie reeks te doen en druk die seisoenale effekte. decombeermult ontbind (beerprod, tipe vermenigvuldigende) decombeermultfigure Die seisoenale (kwartaalliks) gevolge is: 1,0237877 0,8753662 0,9233315 1,1775147 Om seisoenaal aangepas 'n waarde, verdeel die waargeneem waarde van die reeks deur die seisoenale faktore. Byvoorbeeld, as 'n toekomstige kwartaal 4 waarde is 535, die seisoensaangepaste waarde 535 / 1,1775147 454,34677. Lowess Seisoene en Trend Ontbinding A lowess gladder wese vervang waardes met 'n plaaslik geweeg robuuste regressie skatting van die waarde. Die R opdrag STL doen 'n toevoeging ontbinding waarin 'n lowess gladder word gebruik om die tendens en (potensieel) die seisoenale effekte skat sowel. Daar is verskeie parameters wat kan aangepas word, maar die standaard doen 'n redelik goeie werk. Vir ons bier produksie byvoorbeeld die volgende opdrag werke: STL (beerprod, periodieke) Die periodieke parameter veroorsaak in wese die seisoenale effekte word geskat op die gewone manier, as gemiddeldes van die tendens waardes. Die alternatief vir dit is 'n s. window paar vreemde aantal lags, wat lowess glad prosedures gebruik om die seisoenale effekte gebaseer op 'n aantal jare die gespesifiseerde s. window waarde te skat. Wanneer jy dit doen, sal die seisoenale effekte verander as jy deur die reeks te beweeg. Hier is 'n stukkie van die uitslag van die (beerprod, periodieke) opdrag STL. Let daarop dat die woord res word gebruik eerder as om lukraak. (Miskien is sy nie regtig ewekansige) seisoenale tendens restant 1 Q1 8,06289 267,3569 8,9802489 1 Q2 -41,58529 261,8710 -7,4856917 1 K3 -24,68456 257,1444 -5,5598227 1 K4 58,20698 253,8595 -3,6664533 2 Q1 8,06289 257,4133 -3,4761521 2 K2 -41,58529 260,6083 8,8769848 2 K3 - 24,68456 262,9967 -2,2121517 2 K4 58,20698 264,2030 -2,0099463 3 Q1 8,06289 265,5992 -1,7621096 3 Q2 -41,58529 265,2844 9,1008543 3 Q3 -24,68456 262,6567 -0,9721191 3 K4 58,20698 259,6218 -4,4287360 en so aan vir die jaar 4-16 17 Q1 8,06289 417,3459 -6,2088201 17 Q2 -41,58529 420,2610 -1,9757578 17 Q3 -24,68456 428,1381 -10,6535322 17 K4 58,20698 435,8692 12,0238431 18 Q1 8,06289 441,0740 9,2631448 18 Q2 -41,58529 447,1144 -18,1291496 18 Q3 -24,68456 453,0243 -1,4397012 18 K4 58,20698 459,3832 7,4098529 Die toevoeging seisoenale effekte is 8,06289, - 41,58529, -24,68456, 58,20698. Hierdie Arent baie anders as wat ons gekry het van die toevoeging te ontbind. Diegene seisoenale waardes was 1 7.896324 -40,678676 -24,650735 57,433088 Die opdrag plot (STL (beerprod, periodieke)) het die volgende stuk. navigasie